Eigenvalues এবং Eigenvectors এর ধারণা

Eigenvalues এবং Eigenvectors লিনিয়ার অ্যালজেব্রার দুটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, যা মেশিন লার্নিং, কম্পিউটার ভিশন, পরিসংখ্যান, এবং সিগন্যাল প্রসেসিং সহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। এই ধারণাগুলি বিশেষভাবে Principal Component Analysis (PCA) এবং অন্যান্য ডাইমেনশনালিটি রিডাকশন কৌশলে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে। নিচে এগুলোর বর্ণনা করা হলো।

Eigenvalues (আইজেনভ্যালু)

Eigenvalue হলো একটি স্কেলার ভ্যালু যা একটি linearly transformed vector দ্বারা সংশ্লিষ্ট হয়। যখন কোনো লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশন একটি ভেক্টরের উপর কাজ করে, তখন যদি সেই ভেক্টরের আকার পরিবর্তন হয়, তবে এর আকার (magnitude) পরিবর্তন হতে পারে, কিন্তু যদি সেই ভেক্টর Eigenvector হয়, তবে তার দিক (direction) পরিবর্তিত হয় না। তবে আকার পরিবর্তিত হয় এবং সেটি সেই ভেক্টরের Eigenvalue দ্বারা নির্ধারিত হয়।

ফর্মুলা:

$$A \cdot v = \lambda \cdot v$$

এখানে:

• $A$ হলো একটি square matrix,
• $v$ হলো Eigenvector,
• $\lambda$ হলো Eigenvalue।

এটি একটি সমীকরণ যেখানে $A$ মেট্রিক্সের সাথে $v$ ভেক্টরের গুণফল হল $v$-এর স্কেলার গুণফল, যা $\lambda$ দ্বারা প্রকাশিত হয়।

ব্যাখ্যা:

• যদি আপনি $A$ মেট্রিক্সের উপর কোনো ভেক্টর $v$ প্রয়োগ করেন, তবে সাধারণত ভেক্টরটির দিক এবং আকার পরিবর্তিত হয়। তবে, যদি $v$ একটি Eigenvector হয়, তবে শুধুমাত্র তার আকার (magnitude) পরিবর্তিত হয়, তার দিক পরিবর্তিত হয় না। এই আকারের পরিবর্তনটিই হচ্ছে Eigenvalue।

Eigenvectors (আইজেনভেক্টর)

Eigenvector হলো এমন একটি ভেক্টর যা একটি লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশন বা মেট্রিক্স অপারেশন দ্বারা পরিবর্তিত হলেও তার দিক (direction) অপরিবর্তিত থাকে। অর্থাৎ, এটি এমন একটি ভেক্টর যেটি একটি মেট্রিক্সের সাথে গুণ করার পর শুধুমাত্র স্কেল করা হয়, দিক পরিবর্তিত হয় না।

ব্যাখ্যা:

• যখন একটি মেট্রিক্স $A$ একটি ভেক্টর $v$ এর উপর কাজ করে, তখন সাধারণত $v$ এর দিক পরিবর্তিত হয়। তবে, যদি $v$ একটি Eigenvector হয়, তখন $v$ এর দিক অপরিবর্তিত থাকে এবং শুধুমাত্র তার আকার পরিবর্তিত হয়।

উদাহরণ:

ধরা যাক, আপনি একটি মেট্রিক্স $A$ এবং একটি ভেক্টর $v$ নিয়েছেন। যদি $v$ একটি Eigenvector হয়, তবে $A \cdot v$ কেবলমাত্র $v$-এর আকারকে পরিবর্তন করবে এবং সেই পরিবর্তন $\lambda$ দ্বারা নির্ধারিত হবে (এটি Eigenvalue হবে)।

Eigenvalue এবং Eigenvector এর ব্যবহার

Eigenvalues এবং Eigenvectors অনেক গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক এবং প্রাকৃতিক প্রক্রিয়ায় ব্যবহৃত হয়, বিশেষত যখন ডেটার বড় মাত্রাগুলির উপর কাজ করতে হয়। তাদের ব্যবহারগুলি নিচে উল্লেখ করা হলো:

1. Principal Component Analysis (PCA):
   PCA একটি ডাইমেনশনালিটি রিডাকশন টেকনিক, যেখানে ডেটাকে কম মাত্রায় রূপান্তরিত করা হয়। PCA-তে Eigenvectors ডেটার প্রধান উপাদান (principal components) নির্ধারণে ব্যবহৃত হয়, এবং Eigenvalues তাদের গুরুত্ব নির্দেশ করে। উচ্চ Eigenvalue এর মানে হলো সেই Eigenvector-এর সাথে সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্য ডেটার মধ্যে গুরুত্বপূর্ণ।
2. Face Recognition (Computer Vision):
   Eigenfaces পদ্ধতি দ্বারা মুখ শনাক্তকরণে Eigenvectors এবং Eigenvalues ব্যবহার করা হয়, যেখানে মুখের বৈশিষ্ট্য বা ফিচারগুলোকে Eigenvectors হিসেবে চিনহিত করা হয় এবং তাদের মাপ বা শক্তি Eigenvalues দ্বারা নির্দেশিত হয়।
3. Linear Transformation:
   বিভিন্ন ধরনের লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশন যেমন স্কেলিং, রোটেশন ইত্যাদি বোঝাতে Eigenvalue এবং Eigenvector ব্যবহৃত হয়। যদি আপনি একটি ভেক্টরকে একটি লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশনে নিয়ে যান, তবে Eigenvectors ঐ ভেক্টরের আকার পরিবর্তন না হলেও তাদের গুণফল হবে Eigenvalue।
4. Markov Chains (Probability Theory):
   Eigenvalues এবং Eigenvectors প্রোবাবিলিটি থিওরিতে মডেলিং এবং মডেল স্টেশনরির অবস্থায় ব্যবহৃত হয়, যেমন steady state distribution এর ক্ষেত্রে।

Eigenvalues এবং Eigenvectors এর উদাহরণ

ধরা যাক, আমাদের একটি $2 \times 2$ মেট্রিক্স $A$ আছে:

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

এখন, আমরা চাই যে, এর Eigenvalues এবং Eigenvectors বের করতে।

পদক্ষেপ:

1. Eigenvalue নির্ধারণ:
   Eigenvalue বের করতে, আমরা সমীকরণ $\text{det}(A - \lambda I) = 0$ ব্যবহার করি, যেখানে $I$ হলো ঐক্যিক মেট্রিক্স।

   $$\text{det} \left( \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right) = 0$$ $$\text{det} \left( \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} \right) = 0$$ $$(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0$$ $$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$$

   সমীকরণটি সমাধান করলে, Eigenvalues পাওয়া যায়:

   $$\lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 2$$

2. Eigenvectors নির্ধারণ:
   এখন আমরা Eigenvalues এর জন্য Eigenvectors বের করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, $\lambda_1 = 5$ এর জন্য:

   $$(A - 5I)v = 0$$

   এটি সমাধান করলে, $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ হবে।

সারাংশ

• Eigenvalue হলো একটি স্কেলার মান যা ভেক্টরের আকারের পরিবর্তন নির্দেশ করে, কিন্তু তার দিক অপরিবর্তিত থাকে।
• Eigenvector হলো একটি ভেক্টর, যার দিক লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশনের পর অপরিবর্তিত থাকে এবং শুধুমাত্র স্কেল হয়।
• Eigenvalues এবং Eigenvectors বিভিন্ন এলগরিদম যেমন PCA, Face Recognition, Linear Transformations-এ ব্যবহৃত হয় ডেটার অপ্রত্যক্ষ বৈশিষ্ট্য শিখতে এবং গাণিতিক সমস্যার সমাধানে।